Sistemas de numeração (Babilônicos)

BABILÔNICOS

Breve contexto histórico:

A Babilônia é conhecida por seus jardins suspensos, que são uma das sete maravilhas do mundo antigo e pela torre de Babel (citada na Bíblia), e a palavra “Babilônia” no idioma Babilu significa “porta de Deus”. A Mesopotâmia ficava localizada entre os rios Tigre e Eufrates, atual Oriente Médio. Foi na Mesopotâmia que surgiu a escrita e posteriormente os números, por volta de 3000 a.C., a Babilônia era a capital da antiga Mesopotâmia por volta de 2000 a.C. e ficava localizada ao sul do rio Eufrates, onde hoje é Bagdá.

A descoberta da cidade sagrada babilônica deu-se no século XIX d.C. onde a maioria das tábuas matemáticas também foram encontradas, essa civilização tinha um grande conhecimento matemático, utilizavam a matemática não só para resolver problemas, mas como forma de passatempo, jogos e divertimento. Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas, característica Babilônica para conservar seu material histórico.

De um total de meio milhão de tábuas, quase 400 foram identificadas como sendo puramente matemáticas, constituídas de problemas matemáticos. Os babilônicos criaram as primeiras tabuas de informação e de calculo destinadas a armazenar dados extraídos da observação astronômica e a prever com auxilio de artifícios simples a futura disposição dos astros, existem textos matemáticos que datam  2100 a.C. porem é provável que o surgimento da escola dos escribas, onde ensinavam a calcular, escrever, etc., surgiu aproximadamente 2500 a.C., e acredita-se que a maior parte de nosso conhecimento sobre o conteúdo dessas tábuas matemáticas não é anterior ao ano 1935 d.C., e é bastante provável que novas e igualmente notáveis descobertas matemáticas venham a acontecer num futuro próximo.

Essas tábuas envolvem tábuas de multiplicativos, tabuas de quadrados e cubos e mesmo tabuas de exponenciais.

Existem duas principais tábuas

1.    Rhind ao Ahmés

2.    Golenishtcher

As tábuas mostram que os sumérios antigos estavam familiarizados com todos os tipos de contratos legais e usuais, como faturas, recibos, notas promissórias, crédito, juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de venda e endossos. Há tábuas que são documentos de empresas comerciais e outras que lidam com sistemas de pesos e medidas.

Parece seguro dizer que os babilônios já contavam com um certo tipo de aritmética perto do quarto ou quinto milênio a.C., os matemáticos babilônios propagaram seus métodos e operações aritméticas (adição, subtração, multiplicação, divisão, potencialização e radiciação) às sociedades vizinhas a partir do segundo milênio d.C. e deixaram testemunhos de sua sabedoria nas civilizações grega e alexandrina.

Os babilônios do período de 2000 a.C. a 1600 a.C. deviam estar familiarizados com as regras gerais da área do retângulo, da área do triangulo retângulo e do triangulo isósceles ( e talvez da área de um triangulo genérico) da área de um trapézio retângulo, do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, do volume de um prisma reto de base trapezoidal, considerava-se uma circunferência como o triplo de seu diâmetro e a área do circulo como um duodécimo da área do quadrado de lado igual a circunferência respectiva (regras corretas para pi=3)  e se obtinha o volume de um cilindro circular reto como o produto de base pela altura, também tinham conhecimento de que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais, que a perpendicular baixada do vértice de um triangulo isósceles em que incidem os lados congruentes divide ao meio a base e que um ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. E também conheciam o teorema de Pitágoras.

A marca da geometria babilônica é seu caráter algébrico.

Por volta do ano de 2000 a.C. a aritmética babilônica já havia evoluído para uma álgebra retórica bem desenvolvida, não só se resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao de substituição numa formula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também se discutiam algumas cúbicas (grau três) e algumas biquadradas (grau quatro)

Matemática babilônica

·         Valor relativo dos algarismos de acordo com sua posição;

·         Base Sexagesimal (horas, minutos, segundos, graus)

·         Calculavam medições e pesagens

·         Usavam os 12 nós de uma mão e os 5 dedos da outra, assim 12x5=60, por isso da base sexagesimal.

·         Já tinham a ideia de zero, primeiramente eles deixavam um espaço vazio pra representar o zero, depois começaram a utilizar um ponto.

Sistema Babilônico de Numeração

·         História Babilônica e seus contextos.

·         O motivo de a escrita babilônica não ter merecido tanta atenção quanto os hieróglifos egípcios.

·         Geometria Babilônica.

As matemáticas mesopotâmicas atingiram um nível mais elevado do que o obtido pelas matemáticas egípcias. Na Mesopotâmia podemos mesmo detectar um certo progresso no decorrer dos séculos. Os textos mais antigos, datados do terceiro milênio do último período sumério, revelam já uma grande habilidade para calcular. Estes textos contêm tábuas de multiplicação nas quais um sistema sexagesimal se sobrepõe a um sistema decimal.

Enquanto os egípcios indicavam cada unidade mais elevada através de um novo símbolo, os Babilônios usavam o mesmo símbolo, mas indicavam o seu valor pela sua posição. Assim, 1 seguido por outro 1 significava 61 e 5 seguido por 6 e por 3 (5,06,03) significava 5x60²+6x60+3=18.363. Este sistema de posição não diferia essencialmente do nosso próprio sistema de escrita de números, em que o símbolo 343 representa 3x10²+4x10+3. Tal sistema tinha vantagens enormes para o cálculo, como podemos verificar facilmente ao tentarmos realizar uma multiplicação no nosso próprio sistema e no sistema de numeração romana.

Curiosidade:

Os babilónios usaram os símbolos cuneiformes.

O sistema de numeração Babilónico, cuneiforme, utiliza dois símbolos para representar os números: 

6- representa 1           3- representa 10

A representação era feita do seguinte modo:

6= 1       66=2         666=3, ...

(Os Babilónios usavam o princípio da adição na representação cuneiforme.) 

O número sete, por exemplo, seria escrito do seguinte modo:

7 =  6666

       666

 A partir de dez, vinha: 

36 = 11          366 = 12          3666= 13, ...

Quarenta e três viria, então,

33666 = 43

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Os Babilônios utilizavam um sistema posicional, ou seja, um sistema onde “a posição interessa”, donde, os símbolos para 10 estavam posicionados à esquerda dos símbolos para 1, para números inferiores a 60. No sistema posicional, em alguns aspectos era semelhante ao dos egípcios. Algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal ( isto é, base 60).

Usavam um traço vertical para representar as unidades e outro desenho para as dezenas:

No sistema decimal, os números de 1 a 99 eram representados por agrupamentos destes símbolos, por exemplo,

O símbolo para 100 era composto por traços: 

e números superiores a 100, representados novamente por agrupamento. Assim, por exemplo, temos:

O símbolo   indica 10 vezes 100, isto é, 1000.

Também empregavam, em algumas tabuletas, o sistema sexagesimal. Os números de 1 a 59 eram representados novamente por agrupamento simples e a partir dali, se escreviam "grupos de cunhas", com base 60. Por exemplo,

Os babilônios chegaram a empregar um símbolo, formado por duas cunhas inclinadas, para representar a ausência de um grupo. Por exemplo,

Como este símbolo não era de uso freqüente, e ainda, nunca foi usado no fim de uma expressão, o sistema babilônio apresentava ambigüidades. Por exemplo,

O símbolo acima poderia representar o número   , etc. Nosso sistema de numeração indo-arábico é um sistema de numeração posicional de base 10. Ele é preciso e não apresenta ambigüidades, justamente porque temos o símbolo 0 (zero) para representar ausência de uma casa.

A base de numeração 10 é o sistema usado quase que universalmente pelo fato de termos dez dedos disponíveis nas mãos para nos auxiliar nos cálculos. Os Babilônios foram um povo da Antiguidade que viveu no Médio Oriente.  Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.

   

 Os símbolos que usavam eram os seguintes:

Tinham um símbolo diferente para a unidade e para a dezena e o número 60 escrevia-se exactamente como o 1, o que para nós é muito confuso.  Por exemplo, 61 escreve-se como 2.  Pensa-se que os Babilônios sabiam distinguir o número a que se referiam de acordo com o contexto do problema.

Escritos Babilônicos provam que já esta civilização possuía grandes conhecimentos matemáticos.  Neles aparecem uma série de notações contáveis no sistema de numeração sexagesimal.

No relógio do parlamento britânico, o Big Ben, há gravadas  12  divisões de  1  hora e  60  divisões de  1  minuto.

O uso do número  60  como base para contar e dos seus divisores (como a dúzia:  12 = 60/5) era utilizado pelos babilônios há milhares de anos nos seus cálculos quotidianos e também pelos sacerdotes nos seus cálculos astronômicos e de quem dependia a contagem do tempo.

Na sequencia uma ilustração de um tablete babilônico e suas representações numéricas.

Mais informações em:

http://pt.scribd.com/doc/20264219/Sistema-de-Numeracao-Babilonico

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/numeracao_babilonia.htm

http://www.matematica.br/historia/numeracao.htmlhttp://www.prof2000.pt/users/hjco/numerweb/pg000130.htm